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相続財産を取得した場合に係る税金は、相続税です。
相続税は、特殊な税金で、相続した財産に係る税金です。
所得税や住民税は、個人の所得（収入等）に対してかかる税金です。
相続財産を取得しても、個人の所得を増えたとみなしませんので、所得税や住民税はかかりません。
健康保険料も、所得に従って計算されますので、同じ理由で健康保険料が高くなったりはしません。